集合的概念
集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。
集合用大括号或大些字母表示，元素通常用小写字母表示。
集合的特性
1.确定性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
如“世界最高的山”可表示集合，“著名作家”、“高一较难的题”不表示集合。
2.互异性一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的，每个元素只能出现一次。根据这一特性可以区分数列(元素可重复出现)和集合。
如{1，0，a}表示一个集合，则a≠1且a≠0。
3.无序性一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
如{a,b,c}和{a,c,b}表示同一集合。
集合的表示
1.列举法把集合中的元素一一列举出来，基本形式是{a,b,c,d,…}。
2.描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，基本形式是{x|P(x)}。
3.图像法图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法
4.符号法有些集合可以用一些特殊符号表示。
N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…}
N*或N+：正整数集合{1,2,3,…}
Z：整数集合{…,-1,0,1,…}
Q：有理数集合 Q+：正有理数集合 Q-：负有理数集合R：实数集合(包括有理数和无理数）
R+：正实数集合 R-：负实数集合 C：复数集合：空集（不含有任何元素的集合）
集合的分类
1.空集空集是不包含任何元素的集合，记为?。
2.有限集含有有限个元素的集合叫做有限集。
3.无限集含有无限个元素的集合叫做无限集。
元素与集合的关系
元素a与一个给定的集合A只有两种可能：
1、a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A。
2、a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a?A。
集合与集合的关系
子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A?B或 B?A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。
真子集若集合A是B的子集，存在元素x属于B但不属于A，则称集合A是集合B的真子集。
空集是任意一个非空集合的真子集，是任何一个集合的子集。
集合间的基本运算
交集由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。
并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}。
全集在研究集合与集合之间的关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个确定的集合叫做全集，全集通常用U表示。
补集设U是一个集合,A是U的一个子集,由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫做U中子集A的补集(或余集)记作CuA。
常用性质
并集的性质：（1）A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?
=A，A∪B=B∪A。
（2）若A∪B=B，则A?B，反之也成立。
交集的性质：（1）A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩
=?,A∩B=B∩A。
（2）若A∩B=A，则A?B，反之也成立。
二、常用逻辑用语命题
1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
命题包含两部分：题设和结论。判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
如：若a>0，则a+2>0，是真命题。
2.四种命题 原命题：若p，则q。 逆命题：若q，则p。 否命题：若?p，则?q。逆否命题：若?q，则?p。
真假关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
充分条件和必要条件
1、定义如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。
如果p?q，q?p，则p是q的充要条件。
2、充要条件判断 例题：简单的逻辑联结词
命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词。
用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”。
用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”。
对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作?p，读作“非p”或“p的否定”。命题p和?p是完全对立的，有且只有一个成立。
简单复合命题的真值表：例：若命题“p∧q”为假，且“?p”为假，则（ ）
A．p或q为假 B．q假 C．q真 D．不能判断q的真假解析：由于“p∧q”为假，故p和q不会都为真；又有“?p”为假，则p为真。所以有p为真q为假，p或q为真。答案为B。
量词
全称量词与存在量词(1)包括全体的量词叫做全称量词，常见的全称量词有：“任意”“一切”“所有”“全部”等，用符号“?”表示。
(2)只含有一部分的量词叫做存在量词，常见的存在量词有：“存在”“至少有一个”“有些”““某个”“有的”等，用符号“?”表示。
全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，P(x)，读作“存在元素x属于M，使p(x)成立”。
命题的否定 (1)含有量词命题的否定全称命题p：?x∈M,p(x)的否定?p为：
x∈M,?p(x)；全称命题的否定为存在命题。
存在命题p：?x∈M,p(x)的否定?p：?x∈M,?p(x)；存在命题的否定为全称命题。
其中p(x)是一个关于x的命题。
(2)含有逻辑连接词命题的否定
“p或q ”的否定：“?p且?q”；
“p且q ”的否定：“?p或?q”
(3)“若p则q”命题的否定：只否定结论
命题的否定只否定结论；否命题是题设和结论全否。
对命题p的否定（即非p）是否定命题p所作的判断，而“否命题”是 “若?p则?q ”。
例1：原命题：若a>0，则a+1>0。
命题的否定：存在a>0，有a+1≤0。
否命题：若a≤0，则a+1≤0。
例2：原命题：等腰三角形底角相等。
命题的否定：等腰三角形底角不相等。
否命题：若三角形不是等腰三角形，则他们的底角不相等。
