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有理数包括什么(啥叫有理数)

2022-10-15 14:52:00 指南 114 作者:admin

有理数的概念 数学是科学之王。 ——高斯 模块一 正数和负数 模块二 有理数的概念及分类 模块三 数轴 模块四 相反数&倒数 模块五 绝对值第一讲 1 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 一、正数和负数 在数学发展历史上,从发现自然数开始,随着人类文明进步,我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中,我们会需要记录一些具有相反意义的量,比如:零下4?C和零上6?C,收入20元和支出30元,向东30米和向西100米等等.这些数据不仅意义相反,而且表示一定的量,为了表示它们,我们定义了正负数: 1.用正负数表示相反意义的量: 我们把一种意义的量规定为正的,把另一种与它具有相反意义的量规定为负的,分别用正数和负数表示,给数字前面加上正号表示正数,加上负号表示负数. 【例】以上几个例子分别记为:4C和6C,20?元和20?元,30?米和100?米. 2.正数:像30、+6、12、?这样的数叫做正数,正数都大于零; 3.负数:在正数前面加上“?”号的数叫做负数,比如:20?、3.14?、0.001?、172?. 【注】①表示正数时,“+”号可以省略,但表示负数时,“?”号一定不能省略; ②数0既不是正数也不是负数. 二、有理数的概念及分类 1.有理数:整数与分数统称为有理数. 2.有理数的分类: (1)有理数按性质分类: 正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 (2)有理数按符号分类 正整数正有理数正分数有理数零(既不是正数,也不是负数)负整数负有理数负分数 (3)小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分: 非负数:正数和零;非正数:负数和零; 非负整数:正整数和零;非正整数:负整数和零; 非负有理数:正有理数和零;非正有理数:负有理数和零. 有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数,是无理数 ——可化成分数,是有理数 2 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 三、数轴 1.数轴:数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线. 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素; ①原点:表示数0的点; ②正方向:数字从小到大排列的方向,一般规定向右为正方向; ③单位长度:人为规定的代表“1”的线段的长度. 2.数轴的画法 (1)画一条水平直线; (2)在这条直线上取一点作为原点; (3)一般用箭头表示正方向; (4)选取适当的长度为单位长度,用细短线画出刻度,并将数字对应标在数轴下方. 【例】一个标准的数轴: 【注】画数轴的常见错误: ①三要素缺失:没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度; ②单位长度不统一:相邻两个刻度之间间距不一样; ③方向不统一:数字增大的方向不是正方向,或者数字排列混乱. 一些错误的数轴示例: 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3.数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示; 但数轴上的点不一定代表有理数,比如?. ②数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大; ③数轴直观地说明了,正数大于零,负数小于零,正数大于负数. 4.数轴与数学思想 ①数形结合思想:数轴形象地反映了数和点之间的对应关系; ②分类讨论思想:数轴表现了有理数的一种分类方法,即分成正数、负数和零. 四、相反数&倒数 1.相反数:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数.特别地,0的相反数是0. 【例】5?与5?互为相反数;5?是5?的相反数; 【注】相反数必须成对出现,单独一个数不能说是相反数.“5?是相反数”是错误的. 2.相反数的性质: (1)代数性质:若a与b互为相反数,则0ab;反之,若0ab,则a与b互为相反数. (2)几何性质:一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等,即这两点是关于原点对称的. 21?012 02 1?01 012 2?01 123 1?01 201 101? 101? 3 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 3.倒数:乘积为1的两个有理数互为倒数. 【例】2与12,3?与13?,38?与83?. 4.负倒数:乘积为1?的两个有理数互为负倒数. 【例】2与12?,3?与13,38?与83. 【注】①0没有倒数,也没有负倒数; ②倒数是它的本身的数1或. 五、绝对值 1.绝对值:数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作a. 2.绝对值运算:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. (0)0(0)(0)aaaaaa? 3.绝对值的性质: (1)非负性:| | 0a?; (2)双解性:若| | | |ab?,则ab?或ab. 【注】如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如,若| | | | | |abc ?,则a,b,c. (1)仔细思考以下各对量: ①胜二局与负三局; ②气温为3C与气温升高30 C?; ③盈利5万元与亏损5万元; ④增加10%与减少20%. 其中具有相反意义的量有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 (2)①我国现采用国际通用的公历纪年法,如果我们把公元2017年记作+2017年,那么,处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________. ②如果80m表示向东走80m,那么60 m?表示________________. ③A,B两地海拔高度分别是120米,10?米,则B地比A地低________米. (3)学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 30(ml)?”字样,请问“600 30(ml)?”是什么含义?质检局对该产品抽查5瓶,容量分别为603ml,611ml,589ml,573ml,627ml,问抽查产品的容量是否合格? 模块二 有理数的概念及分类 例题1 模块一 正数和负数 4 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 (1)下列说法错误的是( ) A.0既不是正数也不是负数 B.正整数和负整数统称整数 C.整数和分数统称有理数 D.正有理数包括正整数和正分数 (2)把下列各数分别填在所属分类里: 5?,0,3.14?,32,2.4?,227,327,?,5.5?,.&,311?,3.14159,34?,2003 ①正数:{ }; ②负数:{ }; ③非负整数:{ }; ④分数:{ }; ⑤非正有理数:{ }; (3)在下表适当的空格里打上“√”号. 整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 . ? . .? & π 98? (1)下面图形是数轴的是( ) A. B. C. D. (2)如图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为_______. (3)已知:点A在数轴上的位置如图所示,点B也在数轴上,且A、B两点之间的距离是2,则点B表示的数是______. 例题3 模块三 数轴 例题2 123?2?01?3 122?1?0 123 2?1?012 1.3?2.6 A3?O 5 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 ab0 (4)在数轴上标出下列各数:0,4.2-,132,2-,+7,113,并用“<”连接. (1)一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后,又向反方向移动6个单位长度,则这个点表示的数是__________. (2)一个小虫在数轴上先向右爬2个单位,再向左爬6个单位,所在位置正好距离数轴原点2个单位,则小虫的起始位置所表示的数是________. (3)数轴上的点A对应的数是1?,一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后,用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖,又沿原路以原速度返回A点,共用去6秒,则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度?B点与A点的距离是多少个单位长度?B点对应的数是多少? (1)2017?的相反数是________,2017与________互为相反数. (2)已知有理数a、b在数轴上表示如图,则a、b、a?、b?的大小,正确的是( ) A.abab B.abba C.baab D.abba (3)下列说法正确的是( ) A.一个数的相反数一定是负数 B.?和. 互为相反数 C.所有的有理数都有相反数 D.13和31互为相反数 例题5 模块四 相反数&倒数 例题4 7?6?5?4?3?2?1?01234567 6 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 我们可以用字母表示数,比如a、b都能代表一个数,在一个数的前面添上“?”号,就得到这个数的相反数. (1)5的相反数是_______;13的相反数是_______,0的相反数是_______,数a的相反数是________; (2)5?的相反数是_______,12?的相反数是________,4?的相反数是________;数a?的相反数是________; (3)( 2)的相反数是________;( 5)的相反数是________,数()a的相反数是________,数()a的相反数是_______;()ab与________互为相反数. 如果a,化简下列各数的符号,并说出是正数还是负数 ①()a; ②()a; ③[ ()]a; ④[ ()]a; ⑤{ [ ()]}a ?; ⑥{ { { { { [ ()]}}}}}a (1)2017?的倒数是________,2017与________互为负倒数. (2)一个数的倒数等于它本身,这个数是_________;一个数的倒数等于它的相反数,则这个数________. (3)已知a、b为有理数,在数轴上如图所示,则( ) A.ab B.ab C.ba D.ba例题8 例题7 例题6 1?a01b 7 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 (1)2017?的绝对值是_________,| 2017 |的相反数是________,| 2017 |?与________互为倒数. (2)①绝对值不大于3的整数有________; ②绝对值大于2而小于5的负整数是________. (3)①若m、n满足|| ||=mn ? ?,则mn的值等于________; ②| |||xy,则xy?________. (4)已知|5|a?,| | 2b?,则||ab?的值是__________. (1)下列说法正确的个数( ) ①()a表示正数;②||a一定是正数,||a?一定是负数;③绝对值等于本身的数只有两个,是0和1;④如果| | | |ab?,则ab?. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (2)若x表示有理数,则||x一定是( ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 (3)下列说法正确的是( ) A.若a表示有理数,则a?表示非正数 B.和为零的两数互为相反数 C.一个数的绝对值必是正数 D.若| | | |ab?,则ab 例题10 例题9 模块五 绝对值 8 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 (1)如果节约16吨水记作+16吨,则浪费6吨水记作__________. (2)在体育课的跳远比赛中,以4.00米为标准,若小东跳出了4.22米,可记做+0.22,那么小东跳出了3.85米,记作___________. (3)把下列各数填入表示它所在的大括号: . ?,3,2.008,?,,. &&,0,()? ,3.14,||? . 正有理数:{ } 非负整数:{ } 负分数:{ } (1)下列说法正确的是( ) A.在有理数中,零的意义仅仅表示没有 B.正有理数和负有理数组成全体有理数 C.0.5既不是整数,也不是分数,因而它不是有理数 D.零既不是正数,也不是负数 (2)下列说法不正确的是( ) A.绝对值等于本身的数是非负数 B.倒数等于本身的数有2个 C.有理数可分为整数和分数 D.两个负数比较大小,绝对值越大的数越大 演练2 演练1 复习巩固 9 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 (1)如图,表示数轴正确的是( ) A. B. C. D. (2)已知点A,点B在数轴上,点A表示数为,A、B两点的距离为5,则点B表示的数是________. (3)在数轴上标出下列各数,并用“<”比较它们的大小:,,,. ?,5. (4)已知,ab为有理数,在数轴上的位置如图所示,则a?,b?,0,1的大小关系为_______________. (1)点A在数轴上距原点为3个单位,且位于原点左侧,若将A向右移动4个单位,再向左移动2个单位,这时A点表示的数是________. (2)一只小虫在数轴上先向右爬3个单位,再向左爬7个单位,正好停在的位置,则小虫的起始位置所表示的数是( ) A. B.4 C.2 D.0 (1)与________互为相反数;a是________的相反数. (2)()? 的相反数是________;b是________的相反数. (3){ [ ()]} ?________;{ [ ( )]} 与________互为相反数. (1)||||xy? ? ?,求xy?________. 021-1-23-2-1120-2-112023-2-110演练6 演练5 演练4 演练3 10ba 10 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 (2)?的倒数是________,3.75的负倒数是___________. (3)给出下面说法:①互为相反数的两数的绝对值相等;②一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;③若||mm?,则0m?;④若| | | |ab?,则ab?,其中正确的有______.

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