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平方根和算术平方根的概念(平方根的概念是什么)

2022-11-25 20:53:19 指南 27 作者:admin

初中数学中,平方根是学生们首先接触的根式,后面还有立方根,四次方根,五次方根,以及大学要用的n次方根。平方根和立方根是基础,初中生要能正确理解方根的意义,能够熟练说出一个数的方根。

今天,我主要想和大家先来认识一下平方根。

什么是平方根呢?这个概念与平方有关,我们知道一一

1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16。

(-1)^2=1,(-2)^2=4, (-3)^2=9, (-4)^2=16。

现在我如果问你,什么数的平方等于1呢?即(?)^2=1,你肯定会有两个答案,即1和-1,同样平方为4的数是2和-2,平方是9的数有3和-3,平方等于16的数为4和-4。像(?)^2=1,(?)^2=4,(?)^2=9,(?)^2=16等这些问题,我们称为求平方根,即求1的平方根,4的平方根,9的平方根,16的平方根等。

如何用字母来表示平方根呢?比如一个数的平方为a,即(?)^2=a,我们把?用x换取,即有ⅹ^2=a,这里x就叫做a的平方根,可以写作x=±√a,当然,a就是x的平方数,由于数的平方是个非负数,所以a是非负数,即a≥0。

看上面这个例题,求9的平方根,即求±√9的值,根据平方根的概念,有(?)^2=9,显然?可为+3和-3,即±3,所以±√9=±3,故9的平方根是±3,答案选C。

根据平方根的概念,可易知,平方根有下列性质:①一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,②负数没有平方根,③0的平方根为0。

特别地,我们把一个正数的那个正的平方根叫做算术平方根,"算术"一词来源于小学的算术题,那时还没有引进负数。

a的算术平方根可写作√a,这里a≥0,当然√a≥0,要特别注意,0的算术平方根为0。

初学平方根应注意它与算术平方根的的区别与联系,能正确说出一个数的平方根和算术平方根。

例如,①16的平方根是±√16=±4,而16的算术平方根是√16=4。

②9的平方根是±3,而9的算术平方根是3。

③-9的平方根不存在(即没有),同样-9的算术平方根也不存在。

④0的平方根是0,0的算术平方根也是0。

看上面的例1,由平方根的概念和性质可知被开方数为非负数,即x-3≥0,再由分式的分母不能为0,即有√(x-3)≠0,也就是x-3≠0,所以有x-3>0,即x>3。

下面再看一道填空计算题:

①√4-5=_,②±√25=_,③√16的平方根为_。

分析:本题意在把握平方根和算术平方根的区别,①中√4是指4的算术平方根即为2,所以√4-5=2-5=-3,②中±√25是求25的平方根,有两个,是一对相反数,即±5,③中求√16的平方根,要正确理解平方根的概念,√16的平方根是±√(√16),而√16=4(这显然是求16的算术平方根的),所以±√(√16)=±√4=±2。

下面这道题,据说80%的人都算不对,你敢去挑战吗?

计算:①√81的平方根是_____。

②√36=_____。

③-√16=_____。

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